Question

7．求下列函數的反函數
（1）y=$\root{3}{3x-5}$；（2）y=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）；（3）y=1+ln（x-1）；（4）y=2sin$\frac{x}{3}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知解析式，用y表示出x，然后把x與y互換，即得反函數，應注意定義域與值域的互換．

解答 解：（1）由y=$\root{3}{3x-5}$得到x=$\frac{{y}^{3}+5}{3}$，把x與y互換可得：y=$\frac{{x}^{3}+5}{3}$，（x∈R）；
（2）由y=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）得到：e^x=y±$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
∵e^x＞0，∴e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
由此得：x=ln（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）
∴函數y=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）的反函數是y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x∈R）；
（3）∵y=1+ln（x-1）
∴x=e^y-1+1（y∈R），
∴函數y=1+ln（x-1）的反函數為y=e^x-1+1（x∈R）；
（4）∵y=2sin$\frac{x}{3}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域為[-1，1]，
x=3arcsin$\frac{y}{2}$，y∈[-1，1]，
∴反函數為：y=3arcsin$\frac{x}{2}$，x∈[-1，1]．

點評 本題考查了反函數的定義與求法問題，是基礎題目．