Question

15．已知函數f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）•cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin（2x+π）．
（Ⅰ） 求f的（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度，得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函數周期公式即可解得．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）•cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin（2x+π）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x  …（3分）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（5分）
于是T=π，…（6分）
（Ⅱ）由條件可得g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…（8分）
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，…（10分）
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，…（11分）
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
故函數g（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2，最小值為-1．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數周期公式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．