Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ為參數，θ∈R），直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t為參數，t∈R），求曲線C上的動點P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 根據已知中直線的參數方程，消參求出直線的一般式方程，代入點到直線距離公式，結合三角函數的圖象和性質，可得曲線C上的動點P到直線l的距離的最小值．

解答 解：將直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t為參數，t∈R），
化為普通方程為x-y-6=0．
因為點P在曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ為參數）上，所以設P（4cosθ，3sinθ）．
點P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5cos（θ+ϕ）-6|}{\sqrt{2}}$，其中tanφ=$\frac{3}{4}$，φ是銳角．
所以當cos（θ+φ）=1時，d_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以點P到直線l的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…10分．

點評 本題考查的知識點是直線與橢圓的位置關系，參數方程與普通方程的互化，三角函數的最值，難度中檔．