Question

16．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線C的極坐標方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）與曲線C交于M，N兩點．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）求|MN|．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，可得ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，利用互化公式可得直角坐標方程．由直線l的參數方程，消去參數t可得普通方程．
（2）直線方程與拋物線方程聯立化為：x²-4x-4=0，利用根與系數的關系及其|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，
可得ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，
可得直角坐標方程：y²+4y-（x²+y²）=0，即x²=4y．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程：y=x+1．
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，化為：x²-4x-4=0，
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[{4}^{2}-4×（-4）]}$=8．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程的方法、參數方程及其應用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．