Question

11．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-n
（1）求證數列{a_n+1}是等比數列并求{a_n}的通項公式
（2）設b_n=（2n+1）（a_n+1），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=2a_n-n與S_n+1=2a_n+1-（n+1）作差、整理可知a_n+1=2a_n+1，從而a_n+1+1=2（a_n+1），進而數列{a_n+1}是以2為首項、2為公比的等比數列，計算即得結論．
（2）利用錯位相減法即可求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）證明：∵S_n=2a_n-n，
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），
兩式相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=2a₁-1，即a₁=1，
∴a₁+1=1+1=2，
∴數列{a_n+1}是以4為首項、2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）2ⁿ，
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）2^n-1+（2n+1）2ⁿ，
∴2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹=6+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2+（-2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹．

點評 本題主要考查了數列通項公式以及數列的前n項和的求法，對于等差數列與等比數列乘積形式的數列，一般采取錯位相減的方法求數列的前n項和，這種方法要熟練掌握．