Question

3．已知函數f（x）為奇函數，當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x}$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
（1）求當x＜0時，函數f（x）的解析式；
（2）求g（x）的解析式，并證明g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）設x＜0，則-x＞0，結合已知與函數是奇函數可得x＜0時的解析式，則答案可求；
（2）由已知結合（1）寫出分段函數解析式，然后利用奇偶性的定義證明g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）設x＜0，則-x＞0，
此時有f（-x）=$\sqrt{-x}$．
又∵函數f（x）為奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}$．
∴當x＜0時，$f（x）=-\sqrt{-x}$．
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}}\right.$；
（2）函數g（x）解析式為g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
g（x）的定義是R，關于原點對稱，
當x＞0時，-x＜0，$g（-x）=\sqrt{-（-x）}=\sqrt{x}=g（x）$，
當x＜0時，-x＞0，$g（-x）=\sqrt{-x}=g（x）$，
綜上所述，函數g（x）為偶函數．

點評 本題考查函數解析式的求解及常用方法，考查函數奇偶性的判斷方法，是中檔題．