Question

12．已知：函數f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對數函數的性質列出不等式求解函數的定義域．
（Ⅱ）利用函數的奇偶性的定義判斷即可．
（Ⅲ）利用對數函數的單調性求解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，即-2＜x＜2．
∴f（x）的定義域為（-2，2）；
（Ⅱ）∵對任意的x∈（-2，2），-x∈（-2，2）
f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x），
∴f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）是奇函數；
（Ⅲ）f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）＞0，即log₂（2+x）＞log_a（2-x），
∴當a∈（0，1）時，可得2+x＜2-x，即-2＜x＜0．
當a∈（1，+∞）時，可得2+x＞2-x，即x∈（0，2）．

點評 本題考查對數函數的定義域，奇偶性以及函數的單調性的應用，考查計算能力．