Question

7．已知數列{a_n}，a₁=3，a_n+1=-2a_n-3n-1．
（1）求證：數列{a_n+n}為等比數列；       
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推關系結合等比數列的定義進行證明即可，
（2）根據等比數列的通項公式進行求解，
（3）根據分組求和法結合等比數列和等差數列的前n項和公式進行計算即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=-2a_n-3n-1．
∴n+1+a_n+1=-2a_n-3n-1+n+1═-2a_n-2n=-2（a_n+1）．
則$\frac{{a}_{n+1}+n+1}{{a}_{n}+n}$=-2，
則數列{a_n+n}為等比數列，公比q=-2；       
（2）由（1）得數列{a_n+n}為等比數列，公比q=-2，首項為a₁+1=3+1=4，
則a_n+n=4•（-2）^n-1，
即a_n=4•（-2）^n-1-n，
則數列{a_n}的通項公式為a_n=4•（-2）^n-1-n；
（3）數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{4•[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（1+2+…+n）=$\frac{4}{3}$-$\frac{4}{3}$•（-2）ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題主要考查等比數列的證明以及數列通項公式以及求和公式的應用，利用分組求和法是解決本題的關鍵．