Question

16．如圖，三角形ABC是邊長為4的正三角形，PA⊥底面ABC，$PA=\sqrt{7}$，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥AC．
（1）證明：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求三棱錐C-PDE的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥DE，DE⊥AC，由此能證明DE⊥平面PAC，從而平面PDE⊥平面PAC．
（2）由V_C-PDE=V_P-DEC，能求出三棱錐C-PDE的體積．

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABC，DE?底面ABC，
∴PA⊥DE，
又DE⊥AC，PA∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC．
又DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．
解：（2）在Rt△DEC中，∠ECD=60°，CD=2，
則$DE=\sqrt{3}$，
∴${S_{△DEC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴三棱錐C-PDE的體積${V_{C-PDE}}={V_{P-DEC}}=\frac{1}{3}{S_{△DEC}}|PA|=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{7}=\frac{{\sqrt{21}}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．