Question

2．已知函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（0）=0，對于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），令g（x）=f（x）-|λx-l|（λ＞0）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數g（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）由∵f（0）=0可得c=0而函數對于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），可得函數f（x）的對稱軸從而可得a=b，結合f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0對于任意x∈R都成立，可轉化為二次函數的圖象可得a＞0，且△=（b-1）²≤0．
（2）由（1）可得g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1+λ）x+1，x＜\frac{1}{λ}\end{array}\right.$根據函數g（x）需討論：①當x≥$\frac{1}{λ}$時，函數g（x）=x²+（1-λ）x+1的對稱軸為x=$\frac{λ-1}{2}$，則要比較對稱軸與區間端點的大小，為此產生討論：$\frac{λ-1}{2}$≤$\frac{1}{λ}$，與$\frac{λ-1}{2}$＞$\frac{1}{λ}$分別求單調區間；②當x＜$\frac{1}{λ}$時，函數g（x）=x²+（1+λ）x-1的對稱軸為x=-$\frac{1+λ}{2}$＜$\frac{1}{λ}$，同①的討論思路

解答 （1）解：∵f（0）=0，∴c=0．（1分）
∵對于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），
∴函數f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，得a=b．（2分）
又f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0對于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b-1）²≤0．
∵（b-1）²≥0，∴b=1，a=1．
∴f（x）=x²+x．（4分）
（2）解：g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1+λ）x+1，x＜\frac{1}{λ}\end{array}\right.$（5分）
①當x≥$\frac{1}{λ}$時，函數g（x）=x²+（1-λ）x+1的對稱軸為x=$\frac{λ-1}{2}$，
若$\frac{λ-1}{2}$≤$\frac{1}{λ}$，即0＜λ≤2，函數g（x）在（$\frac{1}{λ}$，+∞）上單調遞增；（6分）
若$\frac{λ-1}{2}$＞$\frac{1}{λ}$，即λ＞2，函數g（x）在（$\frac{λ-1}{2}$，+∞）上單調遞增，在（$\frac{1}{λ}$，$\frac{λ-1}{2}$）上單調遞減．
（7分）
②當x＜$\frac{1}{λ}$時，函數g（x）=x²+（1+λ）x-1的對稱軸為x=-$\frac{1+λ}{2}$＜$\frac{1}{λ}$，
則函數g（x）在（-$\frac{1+λ}{2}$，$\frac{1}{λ}$）上單調遞增，在（-∞，-$\frac{1+λ}{2}$）上單調遞減．（8分）
綜上所述，當0＜λ≤2時，函數g（x）單調遞增區間為（-$\frac{1+λ}{2}$，+∞），單調遞減區間為（-∞，-$\frac{1+λ}{2}$）；（10分）
當λ＞2時，函數g（x）單調遞增區間為（-$\frac{1+λ}{2}$，$\frac{1}{λ}$）和（$\frac{λ-1}{2}$，+∞），單調遞減區間為（-∞，-$\frac{1+λ}{2}$）和（$\frac{1}{λ}$，$\frac{λ-1}{2}$）．（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．