Question

3．在三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b-c=$\frac{1}{3}$a，sinB=2sinA，則tan（B+C）=$-\frac{2\sqrt{14}}{13}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理化角為邊，得到b=2a，c=$\frac{5}{3}a$，再由余弦定理求得cosA，利用同角三角函數基本關系式得答案．

解答 解：由sinB=2sinA，得b=2a，又b-c=$\frac{1}{3}$a，
∴b=2a，c=$\frac{5}{3}a$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{4{a}^{2}+\frac{25{a}^{2}}{9}-{a}^{2}}{2•2a•\frac{5}{3}a}=\frac{13}{15}$，
∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{15}{13}）^{2}}=\frac{2\sqrt{14}}{15}$，則tanA=$\frac{2\sqrt{14}}{13}$．
故答案為：$-\frac{2\sqrt{14}}{13}$．

點評 本題考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的應用，是中檔題．