Question

18．設等比數列{a_n}的各項均為正數，公比為q，前n項和為S_n，若對?n∈N^*，有$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，則q的取值范圍是（　　）

• A． （0，1]
• B． （$\frac{1}{2}$，2）
• C． [1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）

Answer 1

分析 當q≠1時，由$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5得qⁿ＜4，對q分類討論求得q的范圍，當q=1時，$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5恒成立，由此得答案．

解答 解：當q≠1時，∵$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}＜5×\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，則qⁿ＜4．
若q＞1，n＜log_q4對?n∈N^*恒成立，
∴log_q4＞n_max不成立，舍去；
若0＜q＜1，n＞log_q4對?n∈N^*恒成立，
∴log_q4＜n_min，則log_q4＜1，即0＜q＜4，又0＜q＜1．
∴0＜q＜1．
當q=1時，S_2n=2S_n＜5S_n成立．
綜上可得：0＜q≤1．
故選：A．

點評 本題考查等比數列的通項公式，考查了等比數列的前n項和，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．