Question

14．在等式$\frac{1}{（）}$+$\frac{9}{（）}$+$\frac{16}{（）}$=1的分母上的三個括號中各填入一個正整數，使得該等式成立，則所填三個正整數的和的最小值是64．

Answer 1

分析 設依次填入的三個數分別為x、y、z，根據柯西不等式，即可得到（x+y+z）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$+$\frac{16}{z}$）≥（1+3+4）²=64，問題得以解決．

解答 解：設依次填入的三個數分別為x、y、z，則
根據柯西不等式，得 （x+y+z）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$+$\frac{16}{z}$）≥（1+3+4）²=64．
∴x=8，y=24，z=32時，所求最小值為64．
故答案為：64．

點評 本題考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是關鍵，屬于基礎題．