Question

17．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，E、F為線段B₁D₁的兩個動點，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，給出下列四個命題：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③點B到平面AEF的距離為定值；
④異面直線AE與BF所成的角為定值．
其中真命題的個數為（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個．

Answer 1

分析 ①AC⊥BE，可由線面垂直證兩線垂直；
②EF∥平面ABCD，可由線面平行的定義請線面平行；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值，根據等積法可得答案；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，可由兩個極好位置說明兩異面直線所成的角不是定值

解答 解：①AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；
②EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，此命題正確；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD₁B₁B距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，
又由△AEF的面積為定值，可得點B到平面AEF的距離為定值，此命題正確；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，由圖知，當F與B1重合時，令上底面頂點為O，則此時兩異面直線所成的角是∠A₁AO，當E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC1，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值．
綜上知①②③正確
故選：B．

點評 本題考查棱柱的結構特征，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質，且能根據這些幾何特征，對其中的點線面和位置關系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的知識保證．