Question

6．給定橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），稱圓x²+y²=a²+b²為橢圓E的“伴隨圓”．
已知橢圓E中b=1，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓E交于A，B兩點，與其“伴隨圓”交于C，D兩點，當|CD|=$\sqrt{13}$時，求弦長|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）“伴隨圓”的方程為x²+y²=4，①當CD⊥x軸時，由|CD|=$\sqrt{13}$，得|AB|=$\sqrt{3}$．②當CD與x軸不垂直時，由|CD|=$\sqrt{13}$，得圓心O到CD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．設直線l的方程為：y=kx+b，則由$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），代入橢圓方程，根據弦長公式及基本不等式的性質，即可求得弦長|AB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，
∴橢圓E的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）“伴隨圓”的方程為x²+y²=4，①當CD⊥x軸時，由|CD|=$\sqrt{13}$，得|AB|=$\sqrt{3}$．
②當CD與x軸不垂直時，由|CD|=$\sqrt{13}$，得圓心O到CD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設直線l的方程為：y=kx+b，則由$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+3k²）x²+6bkx+3b²-3=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
=$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}}$，
=$\sqrt{3+\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}}$，
=$\sqrt{3+\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$，
≤$\sqrt{3+\frac{12}{2\sqrt{9{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+6}}$=2，當且僅當9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，取等號，
弦長|AB|的最大值2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，點到直線的距離公式，弦長公式及基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．