Question

14．已知函數f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據二倍角的三角函數公式與輔助角公式化簡得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），利用周期公式算出ω=1，得函數解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．再由正弦函數單調區間的公式，解關于x的不等式即可得到函數f（x）的單調增區間；
（2）求出g（x）的解析式，根據函數的單調性求出函數在閉區間的最值即可．

解答 解：（1）由題意得：
f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）…（2分）
由周期為π，得ω=1，得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$） …（4分）
由正弦函數的單調遞增區間得
2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z  …（6分）
（2）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，
得到y=2sin2x+1的圖象，所以g（x）=2sin2x+1…（9分）
因為$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，所以$2x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，故2sinx∈[-1，2]，
所以函數g（x）的最大值為3，最小值為0．…（13分）

點評 本題給出三角函數式滿足的條件，求函數的單調區間問題，著重考查了二倍角的三角函數公式、輔助角公式與三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．