Question

5．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ） 求圓C的直角坐標方程；并判斷直線l與圓C的位置關系．
（Ⅱ） 設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為（2，1），求|PA|+|PB|

Answer 1

分析 （1））直線l的參數方程化為普通方程，得：x+y-3=0，把圓C的方程為ρ=4cosθ化為普通方程，得：x²+y²=4x，求出圓心到直線距離，即可得到結論；
（Ⅱ）利用P（2，1）在弦AB上，根據直線的參數方程是幾何意義可得結論．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
化為普通方程，得：x+y-3=0…..3分
把圓C的方程為ρ=4cosθ化為普通方程，得：x²+y²=4x…..6分
即（x-2）²+y²=4
點C到l的距離d=$\frac{|2+0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2，
∴直線l與圓C相交．
（Ⅱ）設點A，B對應的參數分別為t₁，t₂，將$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
帶入（x-2）²+y²=4整理得：${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$
又|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、直線與圓相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題