Question

9．已知函數f（x）=e^x-ax（a∈R）
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）的圖象與直線y=a交于A、B兩點，記A、B兩點的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：x₁+x₂＜lna²．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）利用函數零點的性質，結合函數單調性和導數之間的關系，構造函數，利用導數進行轉化即可證明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
故f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增；
（2）∵f（x）有兩個相異零點，
∴設e^x₁=ax₁，e^x₂=ax₂，①
即e^x₁e^x₂=e^x₁+x₂=a²x₁x₂，
而：x₁+x₂＜2lna，等價于：e^x1+x₂＜e^2lna=elna²=a²，
即a²x₁x₂＜a²，
則等價為x₁x₂＜1，
函數的f（x）的導數f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a＞0，還是單調遞增，則不滿足條件．
則a＞0，
由f′（x）＞0得x＞lna，
由f′（x）＜0得x＜lna，
即當x=lna時，還是f（x）取得極小值同時也是最小值f（lna）=e^lna-alna=a（1-lna），
∵f（x）=a有兩個根，∴a（1-lna）＜0，
即1-lna＜0，則lna＞1，即a＞e．
要證x₁+x₂＜2lna，則只需要x₂＜2lna-x₁，
又x₂＞lna，則只需要證明f（x₂）＜f（2lna-x₁），
即證f（2lna-x₁）＞f（x₂）=0=f（x₁），
令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），
則g（x）=e^2lna-x-a（2lna-x）-e^x+ax，
g′（x）=-a²e^-x+a-e^x+a=-+$\frac{{{（e}^{x}-a）}^{2}}{{e}^{x}}$≤0，
即g（x）在（-∞，lna]上單調遞減，
即g（x）＞g（lna）=0，
則命題成立．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系和應用，綜合性較強，運算量較大．