Question

14．在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0，$2{\overrightarrow{BC}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}$-4=0，若將其沿AC折成直二面角D-AC-B，則三棱錐D-AC-B的外接球的表面積為4π．

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D-AC-B，平面DAC⊥平面ACB，可得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為BD，進而根據$2{\overrightarrow{BC}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}$-4=0，求出三棱錐D-ACB的外接球的半徑，可得三棱錐D-ACB的外接球的表面積．

解答 解：平行四邊形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴AC⊥CB，
沿AC折成直二面角D-AC-B，∴平面DAC⊥平面ACB，
三棱錐D-ACB的外接球的直徑為DB，
∴BD²=AD²+AC²+BC²=2BC²+AC²=4
∴外接球的半徑為1，
故表面積是4π．
故答案為4π．

點評 本題考查的知識點是球內接多面體，平面向量數量積的運算，其中根據已知求出三棱錐D-ACB的外接球的半徑是解答的關鍵．