Question

19．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，0），直線l：x+y-5=0，點B（x，y）是圓C：x²+2x+y²-1=0上的動點，AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D，E，則線段DE的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意作出圖象，結合題意可知當直線為AD時會使得要求的距離最大，然后把問題轉化為點C（-1，0）到直線x-y-2=0的距離，即可求解．

解答 解：圓C：x²+2x+y²-1=0，即（x+1）²+y²=2．
如圖，過點B作直線AD的垂線，交AD于點F，則DE=BF，所以此問題轉化為求圓上的點B到直線AD的距離的最大值，即圓心到直線x-y-2=0的距離加半徑．
易知直線AD的方程是x-y-2=0，點C（-1，0）到直線x-y-2=0的距離是$\frac{{|{-1-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
所以DE的最大值是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
故選D．

點評 本題為距離的最值的求解，涉及直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式以及平行線間的距離，屬中檔題．