Question

12．設函數f（x）=x²+ax-lnx，其中實數a為常數．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在區間（0，1]上是減函數，其中e為自然對數的底數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求導，再構造函數設h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx 由h'（x）在（0，1]上是減函數，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通過研究2-a的正負可判斷h（x）的單調性，進而可得函數F（x）的單調性，可求參數的取值范圍

解答 解：（1）a=2，y=f（x）=x²+2x-lnx，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2+2-1=3，f（1）=1+2-0=3，
∴曲線在點（1，f（1））處的切線方程為：y-3=3×（x-1），即y=3x．
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，f（x）=x²+ax-lnx，
∴g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
設h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，
則h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
易知h′（x）在（0，+∞）上是減函數，
從而h′（x）≥h′（1）=2-a，
①當2-a≥0時，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函數
∵h（1）=0，
∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，
即g′（x）≤0區間（0，1]上是單調遞減函數，
∴a≤2滿足題意，
②當2-a＜0時，即a＞2時，設函數h′（x）的唯一零點為x₀，則h（x）在（0，x₀）上單調遞增，在（x₀，1）單調遞減，
又∵h（1）=0，
∴h（x₀）＞0，
又∵h（e^-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）內有唯一一個零點m，
當x∈（0，m）時，h（x）＜0，
當x∈（m，1）時，h（x）＞0，從而f（x）在（0，m）上單調遞減，在（m，1）上單調遞增，與在區間（0，1]上是減函數矛盾，
∴a＞2不合題意，
綜合所述a的取值范圍為（-∞，2]．

點評 考查學生利用導數研究函數的單調能力，函數單調性的判定，以及導數的運算，試題具有一定的綜合性，屬于中檔題．