Question

3．如圖，矩形CDEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面垂直，AD=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{3}$，AB=4，EG=$\frac{1}{4}$EF，點M在線段GF上（包括兩端點），點
N在線段AB上，且$\overrightarrow{GM}$=$\overrightarrow{AN}$，則二面角M-DN-C的平面角的取值范圍為（　　）

• A． [30°，45°]
• B． [45°，60°]
• C． [30°，90°）
• D． [60°，90°）

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-DN-C的平面角的取值范圍．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AD=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{3}$，AB=4，
EG=$\frac{1}{4}$EF=1，
點M在線段GF上（包括兩端點），
點N在線段AB上，且$\overrightarrow{GM}$=$\overrightarrow{AN}$，
∴0≤AN=EM≤3，
D（0，0，0），設N（$\sqrt{2}$，a-1，0），a∈[1，4]，則M（0，a，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DN}$=（$\sqrt{2}，a-1，0$），
$\overrightarrow{DM}$=（0，a，$\sqrt{3}$），
設平面DMN的法向量
$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=\sqrt{2}x+（a-1）y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=ay+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{a-1}{\sqrt{2}}$，1，-$\frac{a}{\sqrt{3}}$）
平面DNC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角M-DN-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2{a}^{2}}{5{a}^{2}-6a+9}$=$\frac{2}{9（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+4}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴45°≤θ≤60°．
∴二面角M-DN-C的平面角的取值范圍為[45°，60°]．
故選：B．

點評 本題考查二面角的平面角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．