Question

12．在△ABC中，∠A=45°，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，M、N分別為AB、BC的中點，P為AC上任一點，則$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 以A為坐標原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出各點的坐標，設點P的坐標為（x，x），0≤x≤2，表示出$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{3}{2}$，x），$\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{5}{2}$，x-1），根據向量的數量積和二次函數的性質即可求出．

解答 解：以A為坐標原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
∵∠A=45°，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，M、N分別為AB、BC的中點，
∴A（0，0），B（3，0），C（2，2），M（$\frac{3}{2}$，0），N（$\frac{5}{2}$，1），
設點P的坐標為（x，x），0≤x≤2，
則$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{3}{2}$，x），$\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{5}{2}$，x-1），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）+x（x-1）
=2x²-5x+$\frac{15}{4}$=2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{8}$
當x=$\frac{5}{2}$時，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$取得最小值為$\frac{5}{8}$，
故選：D

點評 本題考查了向量的坐標運算和向量的數量積的運算和二次函數的性質，關鍵是構造平面直角坐標系，屬于中檔題．