Question

20．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3，E為B₁C₁的中點，F在CC₁上，且C₁F=1，G在AA₁上，且AG=2．
（1）證明：DG∥平面A₁EF；
（2）設平面A₁EF與DD₁交于點H，求線段DH的長，并求出直線BH與截面A₁EFH所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）構造四邊形GMCD是平行四邊形，利用線線平行，證明線面平行，從而證明DG∥平面A₁EF；
（2）根據線面平行的性質定理，求出DH，建立坐標系，求出直線BH與截面A₁EFH所成角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖所示，
設M為BB₁上一點，且BM=2，連接MG、MC，易得GM∥DC，且GM=DC，
∴四邊形GMCD是平行四邊形，
∴DG∥CM；
在矩形B₁C₁CB中，C₁E=C₁F=1，BC=BM=2，
∴∠MCF=∠EFC=45°，∴FE∥CM，∴DG∥FE；
又DG?平面A₁EF，FE?平面A₁EF
∴DG∥平面A₁EF；
（2）解：∵DG∥平面A₁EF，DG?平面AA₁D₁D，
平面AA₁D₁D∩平面A₁EF=A₁H，
∴DG∥A₁H，∴DH=A₁G=1；
建立如圖所示的坐標系，則E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，0，3），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（2，2，1）
設平面A₁EF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{2x+2y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
∵$\overrightarrow{BH}$=（-2，2，-1），
∴直線BH與截面A₁EFH所成角的正弦值=|$\frac{-2-4-2}{\sqrt{1+4+4}•\sqrt{4+4+1}}$|=$\frac{8}{9}$．

點評 本題考查了空間中的線線與線面平行的應用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應用問題，是綜合性題目．