Question

8．已知函數f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$
（1）若函數在區間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，求證：不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），利用導數研究函數的極值，進而的a的取值范圍．
（2）當x≥1時，不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．等價于：2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g（x），利用導數研究函數g（x）的單調性可得其最小值，再利用三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）在x=1處取得極大值．
∵函數在區間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，
∴$0＜a＜1＜a+\frac{1}{2}$，
解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
（2）證明：當x≥1時，不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．
等價于：2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g（x），
x≥1時，x＞lnx．
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
因此函數g（x）在x≥1時單調遞增，
∴g（x）≥g（1）=2．當且僅當x=1時取等號．
而x=1時，2cos2x＜2．x＞1時，2cos2x≤2．
∴2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$恒成立．
則原不等式成立．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、三角函數的單調性與值域，考查了等價轉化方法、推理能力與計算能力，屬于難題．