Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點分別是F₁、F₂，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線l：x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設P為橢圓C上不在x軸上的一個動點，過點F₂作OP的平行線交橢圓與M、N兩個不同的點，記S₁=S${\;}_{△P{F}_{2}M}$，S₂=S${\;}_{△O{F}_{2}N}$，令S=S₁+S₂，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，b=$\frac{丨0-0+2丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，又橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a²=4，即可求得橢圓C的方程為；
（2）由OP∥F₂M，S${\;}_{△P{F}_{2}M}$=${S}_{O{F}_{2}M}$，S=S₁+S₂=S_OMN=$\frac{1}{2}$•丨OF₂丨丨y₁-y₂丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，設直線MN：x=ky+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式可知：S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+2}）^{2}-4×\frac{-2}{{k}^{2}+2}}$=2$\sqrt{2}$$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{（{k}^{2}+1）+1}$=2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$，由基本不等式的性質，即可求得S的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線l：x-y+2=0相切，
即b=$\frac{丨0-0+2丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
又橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a²=4，
橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：橢圓的右焦點F₂（$\sqrt{2}$，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵OP∥F₂M
∴S${\;}_{△P{F}_{2}M}$=${S}_{O{F}_{2}M}$，
∴S=S₁+S₂=S_OMN=$\frac{1}{2}$•丨OF₂丨丨y₁-y₂丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
設直線MN：x=ky+$\sqrt{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）y²+2$\sqrt{2}$ky-2=0，
y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{k}^{2}+2}$，
∴S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+2}）^{2}-4×\frac{-2}{{k}^{2}+2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{（{k}^{2}+2）^{2}}}$，
=2$\sqrt{2}$$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{（{k}^{2}+1）+1}$=2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$，
由$\sqrt{{k}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≥2，
S≤2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$，
當且僅當$\sqrt{{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$時，即k=0時，取等號，
S的最大值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積公式，韋達定理，弦長公式及基本不等式的應用，考查橢圓與不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．