Question

14．若正實數x、y滿足x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，則x+y的最大值與最小值的和為5．

Answer 1

分析 由題意可得，（x+y）[5-（x+y）]=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$，利用基本不等式即可得出最值，進而得到它們的和．

解答 解：∵x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
∴（x+y）[5-（x+y）]=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=4，
∴（x+y）²-5（x+y）+4≤0，
∴1≤x+y≤4，
∴當且僅當x=y=2時，x+y取最大值4，x=y=$\frac{1}{2}$時，x+y取得最小值為1，
則x+y的最大值與最小值的和為5．
故答案為：5．

點評 本題考查最值求法，注意運用變形和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．