Question

9．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值為-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 將所求利用三角形法則表示為AB，AC對應的向量表示，然后利用向量的乘法運算，數形結合求得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：∵等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，
∴D為BC的中點，E為AC的三等分點，且E靠近點A，如圖所示：
則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}}{6}$-$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{3}$=-2+$\frac{2}{3}$-0=-$\frac{4}{3}$，
故答案為：-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了向量的三角形法則以及向量的數量積公式的運用，用到了向量垂直的數量積為0的性質，屬于中檔題．