Question

18．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據：

x	6	8	10	12
y	2	3	5	6

（1）請在圖中畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（3）試根據（2）求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力．
相關公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{1}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數據寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）作出利用最小二乘法來求線性回歸方程的系數的量，求出橫標和縱標的平均數，求出系數，再求出a的值，注意運算不要出錯．
（3）由回歸直線方程預測，記憶力為9的同學的判斷力約為4．

解答 解：（1）把所給的四對數據寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．如圖所示：

（2）$\sum_{i=1}^{n}$x_iy_i=6×2+8×3+10×5+12×6=158，
$\overline{x}$=$\frac{6+8+10+12}{4}$=9，$\overline{y}$=$\frac{2+3+5+6}{4}$=4，
$\sum_{i=1}^{n}$${x}_{1}^{2}$=6²+8²+10²+12²=344，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{158-4×9×4}{344-4×92}$=$\frac{14}{20}$=0.7，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=4-0.7×9=-2.3，
故線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x-2.3．   
（3）由回歸直線方程，當x=9時，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×9-2.3=6.3-2.3=4，所以預測記憶力為9的同學的判斷力約為4．

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應用，本題解題的關鍵是利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，本題是一個近幾年可能出現在高考卷中的題目．