Question

16．設函數f（x）=|x-1|+|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，利用絕對值的幾何意義求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，分類討論，分離參數，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）≥2可化為|x-1|+|2x-1|≥2，
x＜$\frac{1}{2}$，不等式化為1-x+1-2x≥2，∴x≤0，∴x≤0；
$\frac{1}{2}≤x≤1$，不等式化為1-x+2x-1≥2，∴x≥2，不成立；
x＞1，不等式化為x-1+2x-1≥2，∴x≥$\frac{4}{3}$，∴x≥$\frac{4}{3}$；
綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≤0或$x≥\left.{\frac{4}{3}}\right\}$．-------------（6分）
（2）當x=0時，f（x）=2，a|x|=0，原式恒成立；
當x≠0時，原式等價轉換為$|{1-\frac{1}{x}}|+|{2-\frac{1}{x}}|≥a$恒成立，即$a≤|{1-\frac{1}{x}}|+{|{2-\frac{1}{x}}|_{min}}$．
∵$|{1-\frac{1}{x}}|+|{2-\frac{1}{x}}|≥|{（{1-\frac{1}{x}}）-（{2-\frac{1}{x}}）}|=1$，當且僅當$（{1-\frac{1}{x}}）（{2-\frac{1}{x}}）≤0$即$\frac{1}{2}≤x≤1$時取等，
∴a≤1．-------------（12分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．