Question

4．已知A，B是圓O：x²+y²=4上的兩個動點，P是線段A，B上的動點，當△AOB的面積最大時，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意知當∠AOB=$\frac{π}{2}$時，S取最大值2，此時OA⊥OB建立坐標系可得A、B、P的坐標，可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$為關于x的二次函數，由二次函數的最值可得．

解答 解：由題意知：△AOB的面積S=$\frac{1}{2}|OA||OB|$sin∠AOB
=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠AOB=2sin∠AOB，
當∠AOB=$\frac{π}{2}$時，S取最大值2，此時OA⊥OB，
如圖所示，不妨取A（2，0），B（0，2），設P（x，2-x）
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}$
=（x-2，2-x）•（-x，x-2）
=-x（x-2）+（2-x）（x-2）
=（x-2）（2-2x）=-2x²+6x-1，x∈[0，2]
當x=$\frac{3}{2}$時，上式取最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數量積的運算，涉及三角形的面積公式和二次函數的最值，屬中檔題．