Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD中點，M是棱PC的中點．△PAD是邊長為2的正三角形，BC=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）求二面角M-BQ-C平面角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD∥BQ，QB⊥AD，進而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）連接CQ，BD交于一點H，連接MH，則MH∥PQ，取QB中點N，連接MN，NH，則QB⊥平面MHN，∠MNH為所求角θ，由此能出二面角M-BQ-C平面角θ的大小．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，Q為AD的中點，則BC=QD，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．（2分）
∵AD⊥DC，∴QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD．（4分）
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）
解：（2）連接CQ，BD交于一點H，連接MH，則MH是△PCQ的中位線，
∴MH∥PQ，
∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，∴MH⊥平面QBC，∴MH⊥QB．（8分）
取QB中點N，連接MN，NH，
又∵NH是△QBC的中位線，∴NH∥BC，
∴NH⊥QB，則QB⊥平面MHN，∴∠MNH為所求角θ，
在RT△MNH中，$NH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$MH=\frac{1}{2}PQ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$tanθ=\frac{MH}{NH}=\sqrt{3}$，∵θ∈（0，π），∴$θ=\frac{π}{3}$．
∴二面角M-BQ-C平面角θ的大小為$\frac{π}{3}$．（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．