Question

2．設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知c=3，且sin（C-$\frac{π}{6}$）•cosC=$\frac{1}{4}$．
（1）求角C的大小；
（2）若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡sin（C-$\frac{π}{6}$）•cosC=$\frac{1}{4}$，即可求出C的值；
（2）根據向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$共線，得出sinB=2sinA，即b=2a①；
由余弦定理得出a²+b²-ab=9②，①②聯立解得a、b的值．

解答 解：（1）sin（C-$\frac{π}{6}$）•cosC=（sinCcos$\frac{π}{6}$-cosCsin$\frac{π}{6}$）•cosC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinCcosC-$\frac{1}{2}$cos²C
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2C-$\frac{1+cos2C}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2C-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1；
又0＜C＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得C=$\frac{π}{3}$；
（2）向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，
∴2sinA-sinB=0，
∴sinB=2sinA，
即b=2a①；
又c=3，C=$\frac{π}{3}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=9②；
由①②聯立解得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角恒等變換以及向量共線定理和正弦、余弦定理的應用問題，是綜合性題目．