Question

10．已知函數f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3個零點，則實數a的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{e}}}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用函數的零點個數，畫出兩個函數的圖象，通過函數的導數，通過切線的斜率關系，求解新函數的極值，推出a的范圍．

解答 解：函數f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3個零點，就是函數y=e^x|x-1|，與函數y=2ax-3a有3個交點．
當x＞1時y=e^x（x-1），是增函數．
x=0時，y=0．
當x＜1時，函數y=e^x|x-1|=e^x（1-x），
y′=-xe^x，x＜0時，y′＞0，函數是增函數，
x∈（0，1）時，函數是減函數，
函數y=e^x|x-1|的圖象如圖，設y=2ax-3a，與y=e^x（1-x）的切點為：（x，e^x（1-x）），
可得：$\frac{{e}^{x}（1-x）}{x-\frac{3}{2}}=2a$，x∈（0，1），
即a=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{2x-3}$，
a′=$\frac{[{e}^{x}（1-x）]′（2x-3）-2{e}^{x}（1-x）}{（2x-3）^{2}}$=$-\frac{{e}^{x}}{（2x-3）^{2}}$（2x²-5x+2），
令a′=0可得2x²-5x+2=0，解得x=$\frac{1}{2}$，x=2舍去．
x∈（0，$\frac{1}{2}$），a是減函數，x∈（$\frac{1}{2}，1$）時，a是增函數，a的最小值為：$\frac{{e}^{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}）}}{2×\frac{1}{2}-3}$=$-\frac{\sqrt{e}}{4}$．
可得a∈（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）
故答案為：（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）．

點評 本題考查函數的零點個數的判斷，函數的導數的應用，考查轉化思想數形結合以及計算能力．