Question

9．已知向量$\overrightarrow m$=（cosx，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$sinx，-$\frac{1}{2}$），設函數f（x）=（$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$）•$\overrightarrow m$．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的最大值，并指出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積以及三角函數的恒等變換，化簡f（x）即可求出T；
（2）根據三角函數的圖象與性質，求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時f（x）的最大值以及對應x的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（cosx，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$sinx，-$\frac{1}{2}$），
∴$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$…（2分）
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，…（4分）
∴$T=\frac{2π}{2}=\pi$；…（6分）
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$ 時，f（x） 取得最大值為1+2=3，…（8分）
此時，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得x=$\frac{π}{6}$…（12分）

點評 本題考查了平面向量的數量積和三角函數的恒等變換以及三角函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．