Question

4．已知曲線C：ρ=$\frac{2}{1-sinθ}$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數，0≤α＜π）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A、B兩點（A在第一象限），當$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$時，求α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標與直角坐標互化方法，求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入x²=4（1+y），可得t²cos²α=4（1+tsinα），即t²cos²α-4tsinα-4=0，利用參數的幾何意義，結合韋達定理，求α的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C：ρ=$\frac{2}{1-sinθ}$，即ρ-ρsinθ=2，
∴ρ=2+ρsinθ，
∴x²+y²=（2+y）²，
即曲線C的直角坐標方程為x²=4（1+y）；
（Ⅱ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入x²=4（1+y），
可得t²cos²α=4（1+tsinα），即t²cos²α-4tsinα-4=0
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，①t₁t₂=-$\frac{4}{co{s}^{2}α}$②，
∵$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，∴t₁=-3t₂，③
①②③聯立可得$\frac{4}{\sqrt{3}cosα}$=$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0≤α＜π，∴α=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標互化方法，考查參數方程的運用，屬于中檔題．