Question

19．已知f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx（a∈R）．
（1）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）研究y=f（x）在定義域內的單調性；
（3）如果f（x）≥0在定義域內恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，
（2）先求出函數的導函數，再分類討論，即可判斷函數的單調性，
（3）分離參數，構造函數g（x）=-xlnx，根據導數求出函數的最大值，問題得以解決．

解答 解：（1）a=3時，f（x）=$\frac{3}{x}$+lnx，
∴f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-3+1=-2，f（1）=3，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-3=-2（x-1），即為y=-2x+5；
（2）∵${f^'}（x）=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{x^2}$，
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，
當a＞0時，f（x）在（a，+∞）上遞增，在（0，a）上遞減．
（3）∵f（x）≥0在定義域內恒成立，
∴a≥-xlnx對x∈（0，+∞）恒成立，
設g（x）=-xlnx，
∴g′（x）=-lnx-1，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
當g′（x）＞0時，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，函數g（x）單調遞增，
當g′（x）＜0時，解得x＞$\frac{1}{e}$，函數g（x）單調遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，
∴a≥$\frac{1}{e}$，
故a的取值范圍為[$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了切線方程和函數的單調性以及函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，屬于中檔題．