Question

11．已知PA垂直于以AB為直徑的ΘO所在的平面，C是ΘO上異于A，B的動點，PA=1，AB=2，當三棱錐P-ABC取得最大體積時，求：
（1）PC與AB所成角的大小；
（2）PA與面PCB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，△ACB為等腰直角三角形，補形后求解直角三角形可得PC與AB所成角的大小；
（2）由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AC，可得BC⊥平面PAC，則平面PBC⊥平面PAC，過A作AT⊥PC，垂足為T，則AT⊥平面PBC，∠APT即為PA與平面PCB所成角，然后求解直角三角形可得PA與面PCB所成角的大小．

解答 解：（1）如圖，三棱錐P-ABC高PA=1，要使體積最大，則底面△ABC的面積最大，
∵AB=2，則AC=BC時△ABC面積最大，把三棱錐P-ABC補形，得到長方體PQ，
∴∠CPQ即為PC與AB所成角，
由AB=2，得AC=$\sqrt{2}$，又PA=1，∴PC=$\sqrt{3}$，
∴cos∠CPQ=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，則∠CPQ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即PC與AB所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，則平面PBC⊥平面PAC，
過A作AT⊥PC，垂足為T，則AT⊥平面PBC，∠APT即為PA與平面PCB所成角．
由PA•AC=PC•AT，得AT=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠APT=$\frac{AT}{PA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
則∠APT=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即PA與面PCB所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角及線面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．