Question

3．在1，2，3，…，9這9個自然數中，任取3個不同的數．
（1）組成三位數“abc”，若滿足a＜b＞c的三位數叫做凸數，這樣的凸三位數有多少個？
（2）設X為所取3個數中奇數的個數，求隨機變量X的概率分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）從9個自然數中，任取3個不同的數，共有${C}_{9}^{3}$=84種等可能的結果，由條件得最大的在中間，其它兩個排兩邊，有2種排法，由此能求出這樣的三位數的個數．
（2）由題意得X的取值范圍為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）從9個自然數中，任取3個不同的數，共有${C}_{9}^{3}$=84種等可能的結果…（2分）
由條件得最大的在中間，其它兩個排兩邊，有2種排法，…（4分）
所以這樣的三位數共有$C_9^3×2=84×2=168$個．…（6分）
（2）由題意得X的取值范圍為0，1，2，3，…（7分）
P（X=0）=$\frac{C_5^0C_4^3}{C_9^3}=\frac{1}{21}$，P（X=1）=，
P（X=2）=$\frac{C_5^2C_4^1}{C_9^3}=\frac{10}{21}$，P（X=3）=$\frac{C_5^3C_4^0}{C_9^3}=\frac{5}{42}$，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{42}$

…（11分）
（算對1個給（1分），不列表格或只列表格照樣給分）
EX=$0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}=\frac{5}{3}$…（13分）

點評 本題考查排列組合數的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．