Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分別為PC、PB的中點．
（1）求證：PB⊥平面ADMN；
（2）求BD與平面ADMN所成的角；
（3）點E在線段PA上，試確定點E的位置，使二面角A-CD-E為45°．

Answer 1

分析 （1）推導出AN⊥PB，AD⊥PB，由此能證明PB⊥平面ADMN．
（2）連結DN，則∠BDN是BD與平面ADMN所成的角，由此能求出BD與平面ADMN所成的角．
（3）作AF⊥CD于點F，連結EF，則∠AFE就是二面角A-CD-E的平面角，由此能求出當$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$時，二面角A-CD-E的平面角為45°．

解答 證明：（1）∵M、N分別為PC、PB的中點，AD∥BC，
∴AD∥MN，即A，D，M，N四點共面
∵N是PB的中點，PA=AB，∴AN⊥PB．
∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．
又∵AD∩AN=N
∴PB⊥平面ADMN．（4分）
解：（2）連結DN，∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是BD與平面ADMN所成的角．
在Rt△BDN中，$sin∠BDN=\frac{BN}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴BD與平面ADMN所成的角是$\frac{π}{6}$．（8分）
（3）作AF⊥CD于點F，連結EF，
∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA
∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF
∴∠AFE就是二面角A-CD-E的平面角
若∠AFE=45°，則AE=AF
由 AF•CD=AB•AD，可解得$AF=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
∴當$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$時，二面角A-CD-E的平面角為45°．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，考查滿足條件的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．