Question

10．已知函數y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）求函數的最大值，最小值以及取得最大最小值時的x的取值；
（3）求函數的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，然后求解它的振幅、周期和初相；
（2）利用正弦函數的最值，求解函數的最值即可．
（3）利用正弦函數的單調性求解函數的單調區間即可．

解答 解：y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1=$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$sin2x+$\frac{5}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$…（4分）
（1）函數的振幅為A=$\frac{1}{2}$，周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，初相為φ=$\frac{π}{6}$…（6分）
（2）函數的最大值是$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{4}$，此時2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z…（8分）
函數的最小值是$-\frac{1}{2}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，此時2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，x=$-\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z…（10分）
（3）$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，∴$-\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z…（12分）
∴函數的單調遞增區間為[$-\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，（k∈Z）…（14分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的振幅、周期、相位以及函數的最值的求法，單調性的判斷，是中檔題．