Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折成三棱錐A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，在下列結論中：
①直線CD⊥平面A′BD；
②平面A′BC⊥平面BCD；
③點B到平面A'CD的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；
④棱A′C上存在一點到頂點A'、B、C、D的距離相等．
所有正確結論的編號是①②④．

Answer 1

分析 根據面面垂直的性質定理，可判斷①；根據面面垂直的判定定理，可判斷②；利用等體積法，求出點B到平面A'CD的距離，可判斷③；根據直角三角形的性質，可判斷④．

解答 解：∵在平行四邊形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，
∴AB⊥BD，BD⊥CD，
將平行四邊形ABCD沿對角線BD折成三棱錐A′-BCD后，
∵平面A′BD⊥平面BCD，
∴直線CD⊥平面A′BD；
故①正確；
同理：A′B⊥平面BCD，
由A′B?平面A′BC得：
平面A′BC⊥平面BCD，
故②正確；
棱錐A′-BCD的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$，
△A'CD的面積S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設點B到平面A'CD的距離為h，則$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$h=$\frac{1}{6}$，
解得：h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故③錯誤；
棱A′C的中點到頂點A'、B、C、D的距離相等．
故④正確；
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了棱錐的結構特征，平面與平面垂直的判定與性質，等體積法，難度中檔．