Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，從而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可證得平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）欲求二面角P-AC-E的余弦值，首先找到∠PCE即為二面角P-AC-E的平面角．然后利用余弦定理進行解答即可；
（Ⅲ）作PF⊥CE，F為垂足．連接AF，說明∠PAF就是直線PA與平面EAC所成角．然后解三角形即可求解直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，
∴AC⊥CP，AC⊥CE，
∴∠PCE即為二面角P-AC-E的平面角．
∴在$RT△PCB中，PC=2，BC=\sqrt{2}$，
∴E為中點，可得$PE=CE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$cos∠PCE=\frac{{C{P^2}+C{E^2}-P{E^2}}}{2CP•CE}=\frac{{{2^2}+{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}-{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}}}{{2×2×\frac{{\sqrt{6}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；
（Ⅲ）作PF⊥CE，F為垂足
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，
又∵平面EAC∩平面PBC=CE，
∴PF⊥面EAC，連接AF，則∠PAF就是直線PA與平面EAC所成的角．
由（Ⅱ）知$CE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，由等面積法可知，$\frac{CE•PF}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$PF=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
在$RT△PAC中，PC=2，AC=\sqrt{2}$，得$PA=\sqrt{6}$，
∴$sin∠PAF=\frac{PF}{PA}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．