Question

14．已知圓F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，圓心為F₁，定點F₂（$\sqrt{3}$，0），P為圓F₁上一點，線段PF₂的垂直平分線與直線PF₁交于點Q．
（1）求點Q的軌跡C的方程；
（2）過點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點A和B，且滿足∠AOB＜90°（O為坐標原點），求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圓F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，圓心為F₁（-$\sqrt{3}$，0），由由|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|PF₁|=4＞丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，Q的軌跡C是以，長半軸長為2，${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$為焦點的橢圓，即可求得點Q的軌跡C的方程；
（2）設直線AB的方程為：y=kx+2，代入橢圓方程，△＞0，解得${k^2}＞\frac{3}{4}$．由$∠AOB＜\frac{π}{2}?$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，即x₁x₂+y₁y₂＞0，解得k²＜4，根據韋達定理及弦長公式可知$|AB|=\frac{{4\sqrt{（4{k^2}-3）（1+{k^2}）}}}{{1+4{k^2}}}$，設1+4k²=t∈（4，17），即可求得直線l斜率的取值范圍．

解答 解：（1）圓F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，圓心為F₁（-$\sqrt{3}$，0），
由|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|PF₁|=4＞丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，
∴Q的軌跡C是以${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$為焦點，長半軸長為2的橢圓，
點Q的軌跡C的方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）由題可得直線l存在斜率，設其方程為y=kx+2，設直線l與曲線C交于不同的兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，則有△＞0，解得${k^2}＞\frac{3}{4}$．
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$
由$∠AOB＜\frac{π}{2}?$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，解得k²＜4．…（8分），
根據弦長公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$|AB|=\frac{{4\sqrt{（4{k^2}-3）（1+{k^2}）}}}{{1+4{k^2}}}$，設1+4k²=t∈（4，17），
則$|AB|=2\sqrt{-\frac{12}{t^2}-\frac{1}{t}+1}∈（0，\frac{{4\sqrt{65}}}{17}）$，
直線l斜率的取值范圍（0，$\frac{4\sqrt{65}}{17}$）．…（12分）

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及向量數量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．