Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的離心率為$e=\frac{1}{2}$，直線x+2y-1=0經過橢圓的一個焦點；
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F的直線l（與坐標軸均不垂直）交橢圓于A、B兩點，點B關于x軸的對稱點為P；問直線AP是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出c，通過離心率求出a，求出b，即可得到橢圓的方程．
（2）設出直線方程，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理，通過點B關于x軸的對稱點為P，列出關系式，利用直線系，推出定點坐標．

解答 解：（1）橢圓焦點在x軸上，直線與x軸交于點（1，0），c=1；
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$a=2，b=\sqrt{3}$
所求橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…．（4分）
（2）設直線l：x=my+1；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₂，-y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ 3{x^2}+4{y^2}-12=0\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$，知：2my₁y₂=3（y₁+y₂）…（6分）
直線$AP：y+{y_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_2}）$，
∴m（y₁-y₂）y+2my₁y₂+（y₁+y₂）-（y₁+y₂）x=0
即：m（y₁-y₂）y+4（y₁+y₂）-（y₁+y₂）x=0，
∴m（y₁-y₂）y-（y₁+y₂）（x-4）=0
所以：直線l恒過點（4，0）…..（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓的方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．