Question

13．定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為f（x）的上界．已知函數$f（x）=1+a{（\frac{b}{2}）^x}+{（\frac{c}{4}）^x}$．
（Ⅰ）當a=b=c=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否有上界，請說明理由；
（Ⅱ）若b=c=1，函數f（x）在[0，+∞）是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）已知s為正整數，當a=1，b=-1，c=0時，是否存在整數λ，使得對任意的n∈N^•，不等式s≤λf（n）≤s+2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=b=c=1時，$f（x）=1+{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，則f（x）在（-∞，0）上單調遞減，進而可得f（x）在（-∞，0）上的值域為（3，+∞），并可判斷出函數f（x）在（-∞，0）上沒有上界．
（Ⅱ） 由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．令$t={（\frac{1}{2}）^x}，0＜t≤1$，可得實數a的取值范圍．
（Ⅲ）已知s為正整數，當a=1，b=-1，c=0時，存在λ=10使得對任意的n∈N^•，不等式s≤λf（n）≤s+2恒成立，分類討論，可得結論．

解答 解：（Ⅰ）當a=b=c=1時，$f（x）=1+{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，
易知f（x）在（-∞，0）上單調遞減，∴f（x）＞f（0）=3．
∴f（x）在（-∞，0）上的值域為（3，+∞）．
∴不存在常數M＞0，使得|f（x）|≤M成立，
∴f（x）在（-∞，0）上沒有上界．
（Ⅱ） 由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
令$t={（\frac{1}{2}）^x}，0＜t≤1$，
∴題意等價于-3≤1+at+t²≤3在t∈（0，1]上恒成立．
$?-\frac{4}{t}-t≤a≤\frac{2}{t}-t$在t∈（0，1]上恒成立．$?{（{-\frac{4}{t}-t}）_{max}}≤a≤{（{\frac{2}{t}-t}）_{min}}$．
設$g（t）=-\frac{4}{t}-t，h（t）=\frac{2}{t}-t，0＜t≤1$易知h（t）在（0，1]上遞減．
令0＜t₁＜t₂≤1，有$g（{t_1}）-g（{t_2}）=（-\frac{4}{t_1}-{t_1}）-（-\frac{4}{t_2}-{t_2}）=\frac{{（{t_2}-{t_1}）（{t_2}{t_1}-4）}}{{{t_1}{t_2}}}＜0$
∴g（t）在（0，1]上遞增．
∴g（t）_max=g（1）=-5，h（t）_min=h（1）=1．
∴實數a的取值范圍是[-5，1]．
（Ⅲ）當a=1，b=-1，c=0時，$f（n）=1+{（-\frac{1}{2}）^n}＞0$，
∴題意等價于$\frac{s}{{1+{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}≤λ≤\frac{s+2}{{1+{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}$對任意的n∈N^•恒成立．
∵當n為正奇數時，$\frac{1}{2}≤1+{（-\frac{1}{2}）^n}＜1$；當n為正偶數時，$1＜1+{（-\frac{1}{2}）^n}≤\frac{5}{4}$，
∴$2s≤λ≤\frac{4}{5}（s+2）$．
∴當$2s＞\frac{4}{5}（s+2）$，即$s＞\frac{4}{3}$時，不存在滿足題意的λ；
當$2s≤\frac{4}{5}（s+2）$，即$0＜s≤\frac{4}{3}$時，存在滿足題意的λ，且$λ∈[{2s，\frac{4}{5}（s+2）}]$．
∵s為正整數，∴s=1．
此時，$λ∈[{2，\frac{12}{5}}]$，∵λ為整數，∴λ=10．

點評 本題考查的知識點是復合函數的單調性，二次函數的圖象和性質，函數恒成立問題，轉化思想，難度中檔．