Question

19．已知圓$C：{（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16，點A（\sqrt{3}，0）$，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，設點M的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（II）過點A作圓x²+y²=1的切線l交軌跡E于B，D兩點，求|BD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據橢圓的定義，確定軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，再寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）設切線l的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），代入橢圓方程，由l與圓x²+y²=1相切，得$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即2k²=1，由此，即可求|BD|的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓…（2分）
∴軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1…（4分）
（Ⅱ）設切線l的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），代入橢圓方程，消元得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0．（8分）
設B，D兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又由l與圓x²+y²=1相切，得$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即2k²=1，
∴x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
所以|BD|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{\frac{16}{3}-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{66}}{3}$．（12分）

點評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．