Question

9．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|≠0，且函數在f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}$$+（\overrightarrow a•\overrightarrow b）x$在R上有極值，則向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角的取值范圍是（$\frac{π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 由已知條件得f′（x）=x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0成立，△=|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，由此能求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的取值范圍．

解答 解：∵關于x的函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x在R上有極值，
∴f′（x）=x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0成立，方程有根，
△=|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，
∴|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ＞0，
由|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|≠0，得cosθ$＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜θ＜π
故答案為：（$\frac{π}{3}$，π）．

點評 本題考查向量的夾角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式的合理運用．