Question

10．已知函數f（x）=x²+3x+a
（1）當a=-2時，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次不等式轉化求解即可．
（2）利用函數恒成立，分離變量，利用函數的最值求解即可．

解答 解：（1）當a=-2時，不等式f（x）＞2可化為x²+3x-4＞0，
解得{x|x＜-4或x＞1} …（5分）
（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
則a＞-x²-3x在x∈[1，+∞）恒成立，
設g（x）=-x²-3x
則g（x）在區間x∈[1，+∞）上為減函數，當x=1時g（x）取最大值為-4，
∴a得取值范圍為{a|a＞-4}  …（10分）．

點評 本題考查二次函數的性質，函數恒成立條件的應用，二次不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．