Question

5．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)于關(guān)系即可得出曲線C的方程；對(duì)直線l的參數(shù)方程消參數(shù)可得直線l的普通方程；
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得出關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算|PQ|．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，∴x²+y²=4x，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去t得：$x-\sqrt{3}y+1=0$．所以直線l的普通方程為$x-\sqrt{3}y+1=0$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x得：t²-3$\sqrt{3}$t+5=0．
設(shè)其兩根分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=3$\sqrt{3}$，t₁t₂=5．
所以|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．